RANSAC原理与实现

（本blog部分内容参考http://www.cnblogs.com/xrwang/archive/2011/03/09/ransac-1.html）

RANSAC为RANdom SAmple Consensus（随机抽样一致）的缩写，它是根据一组包含异常数据的样本数据集，，通过迭代方式估计数学模型的参数计算出数据的数学模型参数，得到有效样本数据的算法。它于1981年由Fischler和Bolles最先提出。它是一种不确定的算法——它有一定的概率得出一个合理的结果；为了提高概率必须提高迭代次数。

RANSAC算法经常用于计算机视觉中。例如，在立体视觉领域中同时解决一对相机的匹配点问题及基本矩阵的计算。

RANSAC算法的基本假设是样本中包含正确数据(inliers，可以被模型描述的数据)，也包含异常数据(Outliers，偏离正常范围很远、无法适应数学模型的数据)，即数据集中含有噪声。这些异常数据可能是由于错误的测量、错误的假设、错误的计算等产生的。同时RANSAC也假设，给定一组正确的数据，存在可以计算出符合这些数据的模型参数的方法。

RANSAC的基本假设是：
（1）数据由“inliers”组成，例如：数据的分布可以用一些模型参数来解释；
（2）“Outliers”是不能适应该模型的数据；
（3）除此之外的数据属于噪声。
局外点产生的原因有：噪声的极值；错误的测量方法；对数据的错误假设。
RANSAC也做了以下假设：给定一组（通常很小的）inliers，存在一个可以估计模型参数的过程；而该模型能够解释或者适用于inliers。

一、示例

一个简单的例子是从一组观测数据中找出合适的2维直线。假设观测数据中包含局内点和局外点，其中局内点近似的被直线所通过，而局外点远离于直线。简单的最小二乘法不能找到适应于局内点的直线，原因是最小二乘法尽量去适应包括局外点在内的所有点。相反，RANSAC能得出一个仅仅用局内点计算出模型，并且概率还足够高。但是，RANSAC并不能保证结果一定正确，为了保证算法有足够高的合理概率，我们必须小心的选择算法的参数。

二、概述

RANSAC算法的输入是一组观测数据，一个可以解释或者适应于观测数据的参数化模型，一些可信的参数。

RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：

1.有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
2.用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
3.如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
4.然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
5.最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
这个过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

三、算法（伪代码解释）

输入：
data —— 一组观测数据
model —— 适应于数据的模型
n —— 适用于模型的最少数据个数
k —— 算法的迭代次数
t —— 用于决定数据是否适应于模型的阀值
d —— 判定模型是否适用于数据集的数据数目
输出：
best_model —— 跟数据最匹配的模型参数（如果没有找到好的模型，返回null）
best_consensus_set —— 估计出模型的数据点
best_error —— 跟数据相关的估计出的模型错误

//algorithm start

iterations = 0
best_model = null
best_consensus_set = null
best_error = 无穷大

while（iterations < k）

maybe_inliers = 从数据集中随机选择n个点

maybe_model = 适合于maybe_inliers的模型参数

consensus_set = maybe_inliers

for ( 每个数据集中不属于maybe_inliers的点）

if ( 如果点适合于maybe_model，且错误小于t ）

将点添加到consensus_set

if （ consensus_set中的元素数目大于d ）

已经找到了好的模型，现在测试该模型到底有多好

better_model = 适合于consensus_set中所有点的模型参数

this_error = better_model究竟如何适合这些点的度量

if ( this_error < best_error )
我们发现了比以前好的模型，保存该模型直到更好的模型出现
best_model = better_model
best_consensus_set = consensus_set
best_error = this_error

增加迭代次数

返回 best_model, best_consensus_set, best_error

//algorithm end

RANSAC算法的可能变化包括以下几种：

（1）如果发现了一种足够好的模型（该模型有足够小的错误率），则跳出主循环。这样可能会节约计算额外参数的时间。
（2）直接从maybe_model计算this_error，而不从consensus_set重新估计模型。这样可能会节约比较两种模型错误的时间，但可能会对噪声更敏感。

其实核心就是随机性和假设性。随机性用于减少计算了，那个循环次数就是利用正确数据出现的概率。所谓的假设性，就是说随机抽出来的数据我都认为是正确的，并以此去计算其他点，获得其他满足变换关系的点，然后利用投票机制，选出获票最多的那一个变换。

四、参数

我们不得不根据特定的问题和数据集通过实验来确定参数t（用于决定数据是否适应于模型的阀值）和d（判定模型是否适用于数据集的数据数目）。然而参数k（迭代次数）可以从理论结果推断。当我们从估计模型参数时，用p表示一些迭代过程中从数据集内随机选取出的点均为局内点的概率；此时，结果模型很可能有用，因此p也表征了算法产生有用结果的概率。用w表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：
w = 局内点的数目 / 数据集的数目

通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，wⁿ是所有n个点均为局内点的概率；1 − wⁿ是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1 − wⁿ)^k表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。因此，1 − p = (1 − wⁿ)^k
我们对上式的两边取对数，得出：

值得注意的是，这个结果假设n个点都是独立选择的；也就是说，某个点被选定之后，它可能会被后续的迭代过程重复选定到。这种方法通常都不合理，由此推导出的k值被看作是选取不重复点的上限。例如，要从上图中的数据集寻找适合的直线，RANSAC算法通常在每次迭代时选取2个点，计算通过这两点的直线maybe_model，要求这两点必须唯一。

为了得到更可信的参数，标准偏差或它的乘积可以被加到k上。k的标准偏差定义为：

五、优点与缺点

RANSAC的优点是它能鲁棒的估计模型参数。例如，它能从包含大量局外点的数据集中估计出高精度的参数。RANSAC的缺点是它计算参数的迭代次数没有上限；如果设置迭代次数的上限，得到的结果可能不是最优的结果，甚至可能得到错误的结果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率与迭代次数成正比。RANSAC的另一个缺点是它要求设置跟问题相关的阀值。

RANSAC只能从特定的数据集中估计出一个模型，如果存在两个（或多个）模型，RANSAC不能找到别的模型。

六、应用

RANSAC算法经常用于计算机视觉，例如同时求解相关问题与估计立体摄像机的基础矩阵，在图像拼接时求变换矩阵的时候

七、外部链接

RANSAC Toolbox for MATLAB. A research (and didactic) oriented toolbox to explore the RANSAC algorithm in MATLAB. It is highly configurable and contains the routines to solve a few relevant estimation problems.
Implementation in C++ as a generic template.
RANSAC for Dummies A simple tutorial with many examples that uses the RANSAC Toolbox for MATLAB.
25 Years of RANSAC Workshop

本文参考了沈乐君的文章《随机抽样一致性算法RANSAC源程序和教程》。Ziv Yaniv已经用C++实现了RANSAC，您可以点击这里下载源程序。