频域的拉普拉斯算子

一、定义：

拉普拉斯算子可以使用如下滤波器在频率域实现：
$$H(u,v)=-4\ast {\pi }^2(u^2+v^2)$$
或者，关于频率矩阵的中心，使用如下滤波器：
$$H(u,v)=-4\ast {\pi }^2((u-\frac{P}{2}{)}^2+(v-\frac{Q}{2}{)}^2)$$
其中，D(u,v)是上式给出的距离函数。然后，拉普拉斯图像由下式得到：
$${▽}^{2}f(x,y)={\ni }^{-1}H(u,v)\ast F(u,v)$$
其中，F(u,v) 是 f(x,y) 的傅里叶变换。可以使用下式进行增强：
$$g(x,y)=f(x,y)+c{▽}^{2}f(x,y)$$

二、代码实现：

原始图片：

代码1：

#!/usr/bin/env python
# -*- encoding: utf-8 -*-
'''
@文件        :频率域的拉普拉斯算子.py
@说明        :
@时间        :2021/05/14 20:31:55
@作者        :zt
@版本        :1.0
'''
import cv2
import math
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

rcParams['font.family'] = 'simhei'

path = r"图片位置"

#读取图片，以灰度级的形式
img = cv2.imread(path,cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

plt.imshow(img, cmap = 'gray', interpolation = 'bicubic')
plt.title("原始图像")
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

# '''
# 归一化到[0,1]
# '''
# img_max = max(max(row) for row in img)
# img_gui = img/img_max



rows, cols = img.shape

img_k = np.zeros((2*rows,2*cols)) #用来制作傅里叶变换

"""标定"""

img_min = np.min(img)
fm = img - img_min
img_max = np.max(fm)
fs = (fm/img_max)



img_k[:rows,:cols] = fs
print("扩充后：")
print(img_k.shape)
print(img_k)


plt.imshow(img_k, cmap = 'gray', interpolation = 'bicubic')
plt.title("扩充图像")
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()


'''
(-1)(x+y)乘以img_k移到其中心
'''
# for i in range(img_k.shape[0]):
#     for j in range(img_k.shape[1]):
#         if (i+j)%2!=0:
#             img_k[i][j] = (-1)*img_k[i][j]

crows, ccols =int(rows), int(cols) #得到频率域的中心点坐标

print(crows,ccols)

'''
构建h(u,v)，并求出来
'''
h = np.zeros((2*rows,2*cols))

for i in range(rows):
    for j in range(cols):
        h[i][j] = 1+4*math.pow(math.pi,2)*(math.pow(i-crows,2)+math.pow(j-ccols,2))

print("h(u,v):")
print(h[crows,ccols])


ff = np.fft.fft2(img_k) #图片扩充移其中心后的傅里叶变换

fshift = np.fft.fftshift(ff)    #将零频率分量移到频谱中心
h_f = np.zeros_like(h)
for i in range(len(h)):
    for j in range(len(h[0])):
        h_f[i,j] = h[i,j] * fshift[i,j]

ishift = np.fft.ifftshift(h_f) #ishift是一个复数数组
i_img = np.fft.ifft2(ishift) #逆傅里叶变换，得到仍然是一个复数数组
i_img = np.abs(i_img) #取模，与取实部差不多

plt.imshow(i_img, cmap = 'gray', interpolation = 'bicubic')
plt.title("nibianhua")
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

c = 1
g = img + c*i_img[:rows,:cols] #总计算公式

plt.imshow(g, cmap = 'gray', interpolation = 'bicubic') #绘图
plt.title("频率域拉普拉斯处理后")
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

效果：

代码2：

#!/usr/bin/env python
# -*- encoding: utf-8 -*-
'''
@文件        :频率域的拉普拉斯算子.py
@说明        :
@时间        :2021/05/14 21:31:50
@作者        :zt
@版本        :1.0
'''

import cv2
import math
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

rcParams['font.family'] = 'simhei'

path = r"图片位置"

#读取图片，以灰度级的形式
img = cv2.imread(path,cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
"""值域[0,1]"""
img_min = np.min(img)
fm = img - img_min
img_max = np.max(fm)
fs = (fm/img_max)
rows, cols = img.shape

img_k = np.zeros((2*rows,2*cols)) #用来制作傅里叶变换
img_k[:rows,:cols] = fs


ff = np.fft.fft2(img_k) #傅里叶变换

fshift = np.fft.fftshift(ff)    #将零频率分量移到频谱中心

m,n = fshift.shape

o_x,o_y = int(m/2),int(n/2)

a_max = np.max(fshift)

img_zero = np.zeros((m,n))  #滤波后的频谱

for i in range(m):
    for j in range(n):
        h = (-4)*math.pow(math.pi,2)*(math.pow(i-o_x,2)+math.pow(j-o_y,2))/a_max #拉普拉斯滤波器，除以img_f的最大值a_max是为了将H(i,j)标定到[-1,1]的范围内
        img_zero[i,j] = (1-h)*fshift[i,j]

ishift = np.fft.ifftshift(img_zero) #ishift是一个复数数组
i_img = np.fft.ifft2(ishift) #逆傅里叶变换，得到仍然是一个复数数组，不要以为直接得到图像的像素值.
i_img = np.abs(i_img)

plt.imshow(i_img[:rows,:cols], cmap = 'gray', interpolation = 'bicubic')
plt.title("频率域拉普拉斯处理后")
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

效果：